Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Кашеварова Г.Г. Пермякова Т.Б.
Численные методы Решения задач Строительства на ЭВМ
В основе учебного пособия лежит курс лекций « Численные методы решения задач строительства на ЭВМ », читаемый в течение нескольких лет студентам специальности « Промышленное и гражданское строительство » и других строительных
в процессы управления и организации строительным производством ( фирмой ).
успешного решения практических задач совершенствования управления и организации строительства с точки зрения
Для реализации численных методов на ЭВМ существует множество разнообразных программ и программных комплексов
∙ решение систем линейных алгебраических уравнений
( СЛАУ ) и связанные с ними задачи : 1) вычисление
определителя и 2) нахождение обратной матрицы ;
Основу компьютерной грамотности на современном этапе составляют :
♦ умение формализовать свои профессиональные знания и доводить их до алгоритма ;
моделирование с помощью математического аппарата [32].
Численные методы и их реализация на ЭВМ составляют содержание огромного раздела современной математики –
сеточной областью ( разностной сеткой или просто сеткой ) [9]:
А заданная непрерывная на [ a, b ] функция y=y(x) заменяется
Если исходная математическая задача формулируется в виде
Чаще всего дискретная модель зависит от некоторого
Полученное решение обычно принимается за приближенное решение исходной задачи.
численных методов делается на основе знания их характеристик
Эти средства включают в себя :
∙ методы, которые дают средства решения задачи ( метод есть совокупность указаний или шагов решения задачи );
Элементы теории погрешности
Источниками погрешностей являются [9, 13]:
∙ Погрешность исходных данных. Для вычислителя это
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬСТВА НА ЭВМ
1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Строительные конструкции и строительное производство» В. Т. Мезенин ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬСТВА НА ЭВМ Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Вычислительные методы в строительстве» для студентов направления подготовки «Строительство» всех форм обучения Екатеринбург Издательство УрГУПС 2013
3 Оглавление Введение. 4 Лабораторные работы Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации Решение дифференциального уравнения изогнутой оси консольной балки методом Эйлера Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки методом конечных разностей Определение усилий и перемещений в балках с помощью ЛИРА-САПР Определение критической нагрузки для центрально-сжатого стержня Библиографический список
4 Введение Основная образовательная программа высшего профессионального обра зования по направлению подготовки «Строительство» предусматривает в процессе изучения дисциплины «Вычислительные методы в строительстве» формирование у будущих бакалавров таких общекультурных (ОК) и профессиональ ных (ПК) компетенций, как: ОК 1 владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализ, восприятие информации, постановка цели и выбор путей её достижения; ПК 1 использование основных законов естественно-научных дисциплин в профессиональной деятельности, применение методов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования. В пособии представлены лабораторные работы, которые проводятся для ознакомления студентов с численными методами решения дифференциальных уравнений и задач линейной алгебры. Лабораторные работы нацелены на выработку навыков, необходимых при решении проектных и научных задач с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). Первая лабораторная работа знакомит с методами решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и отличается невысоким уровнем сложности. При ее выполнении студенты должны познакомиться с основными понятиями, необходимыми для выполнения следующих лабораторных работ. Вторая лабораторная работа знакомит студентов с итерационными методами решения СЛАУ и условиями их сходимости к истинному решению. В третьей работе рассматривается решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с начальными условиями (задача Коши) методом Эйлера. В четвертой работе представлен алгоритм решения ОДУ с граничными условиями (краевая задача) методом конечных разностей. Пятая работа знакомит студентов с основами расчета стержневых систем методом конечных элементов (МКЭ) и современными системами автоматизированного проектирования (САПР) строительных конструкций. 4
5 В шестой работе рассмотрено решение задач на собственные значения матриц при оценке устойчивости стержней. Содержательной частью лабораторных работ 3 6 являются задачи об изгибе стержней. Практикум включает краткие теоретические сведения по каждой из лабораторных работ. Теоретический материал изложен кратко, учащиеся должны самостоятельно ознакомиться с соответствующими разделами учебников из предложенного библиографического списка. Приведены примеры решения задач с использованием макросов Microsoft Excel, написанных на Visual Basic for Applications (VBA). Для выполнения практикума студенты должны владеть основами программирования на ЭВМ и основами дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов». Лабораторный практикум проводится каждым студентом индивидуально. Для этого студент получает одно из заданий по указанному преподавателем варианту. Работа выполняется в соответствии с данными методическими рекомендациями под руководством преподавателя. Лабораторная работа считается выполненной после её защиты. Для защиты работы необходимо представить программу, результаты расчета на ЭВМ и отчёт, оформленный в соответствии с приведенными в данных методических рекомендациях требованиями. 5
6 Лабораторные работы 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Точное или приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений является одной из важнейших прикладных задач линейной алгебры. Многие математические модели приводят к данной задаче непосредственно. Отметим лишь несколько методов и классов задач, приводящих к решению СЛАУ: метод конечных разностей (МКР) для решения краевых задач с обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями или системами уравнений в частных производных; метод конечных элементов (МКЭ) для расчета напряженнодеформированного состояния строительных и машиностроительных конструкций; задачи расчета конструкций на динамические воздействия; анализ устойчивости сооружений. Отличительной особенностью решения таких задач являются очень большие размеры СЛАУ (десятки и сотни тысяч уравнений и неизвестных). Рассмотрим систему m линейных уравнений с n переменными: a11x1 + a12x a1 nxn = b1 a21x1 + a 22 x a2nxn = b2. (1.1) am1x1 + am2x amnxn = bm Систему (1.1) можно записать в виде одного матричного уравнения A X=B, где Х вектор неизвестных, B вектор свободных членов, А матрица коэффициентов при неизвестных размерами m n. В случае, когда количество уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы A отличен от нуля, система (1.1) имеет единственное решение. 6
7 Существуют две группы методов решения систем линейных уравнений: прямые и итерационные. К прямым относятся методы, позволяющие за конечное число шагов получить точное решение системы. Это метод Гаусса, метод квадратного корня для симметричных матриц, метод Крамера и т. п. Метод Крамера дает возможность кратко записать решение системы (1.1). Пусть D определитель квадратной матрицы А системы линейных уравнений, D(i) определитель матрицы, у которой в i-тый столбец подставлен вектор В, а остальные столбцы совпадают с соответствующими столбцами матрицы А. Тогда значения вектора неизвестных находятся по формулам: Х(i) = D(i)/D. К итерационным относятся методы, при которых строится последовательность векторов, сходящихся к точному решению. Это метод простой итерации, метод Зейделя. Рассмотрим метод Гаусса, он является одним из эффективных методов решения СЛАУ. Метод состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода [2, c. 9]. В результате выполнения прямого хода матрица A преобразуется в верхнетреугольную, путем эквивалентных линейных преобразований уравнений системы поддиагональные коэффициенты матрицы А обнуляются. Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т. е. a ij = 0 при i > j. Прямой ход состоит в последовательном исключении коэффициентов при неизвестных х 1, х 2. х n, начиная с первого столбца. Исключение коэффициентов при х k-ом неизвестном называется k-тым циклом метода Гаусса. Прямой ход реализуется по следующим формулам (индекс k в круглых скобках означает номер цикла). Умножение k-той строки на число: ( k) ( k) ( k) d = a / a, m= k + 1. n. mk mk kk Вычитание k-той строки из m-той строки ( k+ 1) ( k) ( k) k a = a d a, p= k + 1. n; m> k mp mp mk kp b = b d b. ( k+ 1) ( k) ( k) ( k) m m mk k В результате n 1 цикла получается система с верхнетреугольной матрицей: 7
8 a a. a a (1) (1) (1) n (2) (2) 0 a a2n ( n) nn 8 (1) x1 b 1 (2) x2 b2 =. (1.2) x ( n) n b n Обратный ход последовательное вычисление x n, x n 1. х 1, начиная с последнего уравнения системы (1.2). Формулы обратного хода: n n akl xl = bk, откуда получаем: xk = bk aklxl / akk l= k l= k+ 1 для k = n, n 1,,1. Метод Гаусса применяется для решения целого ряда задач линейной алгебры. Пример 1 вычисление определителя матрицы. Исходную квадратную матрицу приводят к верхнетреугольному виду методом Гаусса, после приведения определитель будет равен произведению элементов главной диагонали. Пример 2 нахождение обратной матрицы. Пусть А’ обратная матрица, т. е. А А’=Е. Для того чтобы найти обратную матрицу, каждый столбец матрицы А’ обозначим как неизвестный вектор Х(1), Х(2),. Тогда для решения матричного уравнения А(Х(1)Х(2). ) = Е можно n раз решить систему линейных уравнений методом Гаусса с неизвестным вектором Х(i) и правым столбцом одним из столбцов единичной матрицы Е. Матрица называется единичной, если все элементы на главной диагонали равны единице (a ii =1), а все элементы вне главной диагонали равны нулю. Рекомендации к выполнению лабораторной работы «Метод Гаусса» 1. Изучить литературу [1, 2, 3, 7] по вопросам решения СЛАУ прямыми методами. 2. Составить управляющую программу (макрос) для решения СЛАУ методом Гаусса с использованием подпрограммы BANDS [6, с.124] на языке VBA [5], протестировать программу на контрольном примере. 3. По заданным преподавателем номеру варианта (N две последние цифры номера зачетки) и номеру строки табл. 1.1 составить матрицу А и вектор В. Матрицу А переписать в ленточной форме.
9 4. Выполнить расчет для своего варианта и сохранить xls-файл с результатами работы. 5. Распечатать отчет с названием и целью работы, постановкой задачи, текстами программ и результатами расчетов. Таблица 1.1 Системы из четырех уравнений c четырьмя неизвестными N x N x2 = N 4.15 N x2 4 N x N x1 = N N x N x N x2 = N 3.03 N x N x4 = N 2.26 N x N x2 = N 2 N x N x1 2.2 N x2 = N 0.46 N x3 1.7 N x N x4 = N 0.96 N x3 1.3 N x4 = N 9.68 N x N x2 = N N x1 0.8 N x N x2 = N N x N x N x3 = N 5.73 N x N x4 = N Содержание лабораторной работы «Метод Гаусса» Тема. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса. Цель. Изучить алгоритм метода Гаусса, ознакомиться с ленточной формой хранения матриц и научиться использовать готовые подпрограммы для решения СЛАУ. Задание. Используя подпрограмму bands, решить систему A X = B, где A заданная матрица коэффициентов при неизвестных; B заданный вектор свободных членов; Х вектор неизвестных решение системы. Матрица называется ленточной, если в ней ненулевые элементы сгруппированы параллельно главной диагонали (главная диагональ соединяет левый верхний и правый нижний углы матрицы). Ширина ленты М количество диагоналей, на которых располагаются ненулевые элементы матрицы над или под главной (максимальное из двух). На рис. 1.1 представлена матрица из 7 строк и 7 столбцов, ширина ленты М = 2. В ленточной форме хранения матрица имеет 7 строк и 5 столбцов. 9
10 В центральном столбце расположены элементы главной диагонали Рис Ленточная матрица Пример управляющей программы и текст подпрограммы bands [6, с. 124] на языке VBA, смысл и атрибуты ее формальных параметров приведены ниже. Sub GAUSS() n = Cells(3, 1).Value m = Cells(4, 1).Value ReDim A(n, 2 m), x(n), b(n) For i = 1 To n For j = 0 To m 2 A(i, j) = Cells(i + 7, j + 1). Value Next j b(i) = Cells(15 + i, 1).Value Next i Call bands(n, m, A(), b(), x()) For i = 1 To n Cells(15 + i, 2) = x(i) Next i End Sub ‘значение переменной n читается из ячейки (3,1) ‘значение переменной m читается из ячейки (4,1) ‘объявление массивов A, x и b ‘ввод массива А из ячеек (i+7, j + 1) ‘ввод значений массива b из ячеек (15 + i, 1) вызов подпрограммы bands ‘вывод значений массива х в ячейки (15 + i, 2) 10
11 Private Sub bands(n, m, A(), b(), x()) ‘ подпрограмма bands предназначена для решения систем линейных ‘ алгебраических уравнений методом Гаусса ‘ смысл и атрибуты ее формальных: ‘ n количество неизвестных системы ‘ m ширина ленты матрицы коэффициентов при неизвестных ‘ A матрица коэффициентов при неизвестных (в ленточной форме) ‘ b заданный вектор свободных членов ‘ x вектор неизвестных решение системы For i = 1 To n p = 0 If i > n m Then p = i n + m For k = 1 To m p l = i + k c = A(l, m k) / A(i, m) b(l) = b(l) c b(i) For j = m p To 0 Step 1 A(l, j + m k) = A(l, j + m k) c A(i, j + m) Next j Next k Next i For i = n To 1 Step 1 l = 0 x(i) = b(i) / A(i, m) If i > n m Then l = i n + m For j = 1 To m l x(i) = x(i) A(i, m + j) / A(i, m) x(i + j) Next j Next i End Sub Порядок выполнения работы на персональном компьютере Запустить Microsoft Excel. Подготовить файл с макросами. Ввести исходные данные, выполнить расчет и напечатать результаты. Проверить правильность результата, подставив значения вектора Х в одну из строк системы А Х = В. Для матрицы А на рис. 1.1 и вектора В =[ ] вычисления привели к следующим результатам: X = [ ]. 11
12 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации Итерационные методы решения СЛАУ относятся к приближенным методам. Это метод простой итерации, метод Зейделя и другие [1, 2, 3, 7]. Для применения метода простой итерации необходимо преобразовать исходное уравнение А Х=В к эквивалентному виду, удобному для итераций: Х = α Х + β, (2.1) матрица α и вектор β определяются по приведенным ниже формулам: x1 =α 11×1 +α 12x α 1nxn +β1 x2 =α 21×1 +α 22x α 2nxn +β2. α ij = аij / aii, β i = bi / aii, α ii = 0 i. xn =α n1x1 +α n2x α nnxn +βn Для поиска решения строится рекурентная последовательность векторов Х по следующему правилу: Х 0 произвольный, Х k+1 = α Х k + β. Последовательность векторов при k сходится к точному решению системы (1.1), если какая-либо из канонических норм матрицы α меньше 1. Приведем формулы для вычисления норм: n n 2 q1 = ( αij ), Евклидова норма; i= 1 j= 1 q2 = max α i = 1 (по столбцам); 3 n n q = max α j = 1 ij ij, где максимум берется при всех j = 1, 2,, n, где максимум берется при всех i = 1, 2,, n (по строкам). Последовательность построенных по формуле (2.1) векторов сходится к решению независимо от выбора вектора Х 0, но обычно в качестве Х 0 выбирают вектор β. Это можно объяснить тем, что если взять Х 0 = 0, то на следующем шаге получится вектор β. У метода итераций есть преимущество перед всеми другими методами: это устойчивый метод. 12
13 Если ответ надо получить с заданной точностью ε, то итерации заканчивают, когда выполняется неравенство: k+ 1 k 1 q max xi xi ε, i, в качестве величины q берут наименьшую величину из трех вычисленных норм матрицы q α. Рекомендации к выполнению лабораторной работы «Метод итераций» 1. Изучить по литературе [1, 2, 3, 7] итерационные методы решения СЛАУ. 2. Составить программу решения СЛАУ методом итераций, протестировать ее на контрольных примерах. 3. По заданному преподавателем номеру варианта N составить на основании данных (табл. 1.1) матрицу А и вектор В. 4. Выполнить расчет для своего варианта и сохранить xls-файл с результатами работы. 5. Распечатать отчет с названием и целью работы, постановкой задачи, текстами программ и результатами расчетов. Содержание лабораторной работы «Метод итераций» Тема. Решение СЛАУ методом итераций. Цель. Изучить метод простой итерации, ознакомиться с понятием норм матриц и векторов, научиться составлять программы для решения СЛАУ итерационными методами. Задание. Решить СЛАУ A X = B методом простой итерации, где A заданная матрица коэффициентов при неизвестных; X вектор неизвестных решение системы; B заданный вектор свободных членов; ε заданная точность. Оценить погрешность полученных результатов. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений: 45.6 х х х 3 = х х х 3 = (2.2) 4.58 х х х 3 = Все диагональные коэффициенты отличны от нуля: а 11 = 45.6 а 22 = 27.3 а 33 = 35.2 Разрешим первое уравнение системы относительно х 1, второе относительно х 2 и т. д. Получим систему: 13
14 х 1 = / 45.6 х 1 0 х / х 3 / 45.6 х 2 = / 27.3 х / 27,3 х 2 0 х / 27.3 (2.3) х 3 =61,67 / 35.2 х /35.2 х / 35.2 х 3 0. Вводим обозначения β 1 = / 45.6 = и т. д β = Матрицу А преобразуем в удобную для итерации форму α: α ij = аij / аii, кроме i = j / / α = 3.21/ /27.3 = / / Проверим условие сходимости процесса поиска решения СЛАУ методом простой итерации. Условие сходимости: если какая-либо каноническая норма матрицы коэффициентов при неизвестных СЛАУ, приведенной к форме удобной для метода итерации меньше 1, то процесс итера ции сойдется к единственному решению α i = 0.2 = норма матрицы по строкам, α j = = норма матрицы по столбцам Обе нормы матрицы α меньше 1, следовательно, процесс итераций сойдется к единственному решению. Решение находим методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем столбец свободных членов Х(0) = β. Далее, последовательно строим векторы Х(1)= β + α Х(0), Х(2) = = β + α Х(1) и т. д. Точное решение Х теоретически находится за бесконечное число итераций. На практике ограничиваются конечным числом итераций k при достижении заданной точности ε, решение Х(k) имеет погрешность, которая оценивается по формуле Х Х(k) 15 где k число итераций; α ^k + 1 норма матрицы α в k+1 степени; β норма вектора β; Х Х(k) норма разности точного решения и его приближения на k-той итерации. Ниже приведен пример программы, реализующей метод простой итерации. Sub iter() ‘Ввод исходных данных из ячеек таблицы EXEL n = Cells(3, 1).Value ‘n pазмерность матрицы А, читается из ячейки (3,1) m = Cells(4, 1).Value ‘m максимальное число итераций из ячейки (4,1) mk = Cells(5, 1).Value ‘mk требуемая точность, читается из ячейки (5,1) ReDim A(n, n), x(n), b(n), l(n), xold(n) ‘объявление массивов For i = 1 To n For j = 1 To n A(i, j) = Cells(i + 7, j).value ‘ввод матрицы А Next j b(i) = Cells(15 + i, 1).Value ‘ввод вектора b Next i ‘преобразование данных в форму, требуемую для метода итераций For i = 1 To n b(i) = b(i) / A(i, i) For j = 1 To n If i <> j Then A(i, j) = A(i, j) / A(i, i) Next j A(i, i) = 0 x(i) = b(i) Next i ch = 0 ‘обнуление счетчика количества выполненных итераций label: For i = 1 To n: xold(i) = x(i) ‘запоминание предыдущего приближения корней l(i) = 0 For j = 1 To n l(i) = l(i) + A(i, j) x(j) 15
16 Next j Next i ‘вычисление нового приближения For i = 1 To n: x(i) = b(i) + l(i): Next i ‘вычисление расхождения между приближениями корней на соседних итерациях eps = 0 For i = 1 To n r = Abs(x(i) xold(i)) If r > eps Then eps = r Next i ch = ch + 1 ‘проверка условий окончания итераций If eps > mk And ch 17 3. Решение дифференциального уравнения изогнутой оси консольной балки методом Эйлера Уравнения, содержащие одну или несколько производных, называются дифференциальными. В зависимости от числа независимых переменных уравнения разбивают на два существенно различных класса: обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и частные производные по ним. Ниже будут рассмотрены численные методы решения ОДУ. Для численного решения ОДУ необходимо знать дополнительные условия значения зависимой переменной (функции) или функции и её производных при некоторых значениях независимой переменной (аргумента). В зависимости от того, как заданы эти условия, выделяют 2 типа задач: 1. Задача Коши. Все условия заданы в одной, начальной точке, поэтому условия называются начальными. 2. Краевая задача. Условия заданы в более чем одной точке. Условия в этом случае называются граничными. Задача решения ОДУ 1-го порядка (задача Коши) формулируется следующим образом: найти z = z(x), удовлетворяющую уравнению z’= f(x,z) (3.1) для x [a,b] при заданном начальном условии z(a) = z 0. Для решения этой задачи методом Эйлера разобьем интервал [a, b] на n равных отрезков, точки x 0, x 1,,x n называют узлами сетки, параметр h = (b a)/n шагом сетки. Значения аргумента задают выражением x i = a + i h, i = 01. n ; x 0 = a, х n = b. Заменим производную z’ в точке x i приближенной оценкой отношением приращений (это следует из определения производной): Δzi zi+ 1 zi zi+ 1 zi z i = =, тогда получаем формулу Эйлера: Δxi xi+ 1 xi h z i 1 z + i h + f( x i,zi). (3.2) 17
18 Формулу (3.2) можно получить, используя разложение функции в ряд Тейлора в окрестности х: 1 2 zx ( 0 + h ) = zx ( 0) + hz ( x0) + hz ( x 0) Если h мало, то члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, являются малыми более высоких порядков и ими можно пренебречь. Тогда zx ( 0 + h ) = zx ( 0) + hz ( x0), при этом на каждом шаге накапливается ошибка (рис. 3.1), которая имеет порядок δ M = O(h 2 ). z Точное решение Ошибка z 1 z 0 Касательная
f(x 0, z 0 ) x 0 x 0 x 1 Рис Локальная погрешность метода Эйлера Из исходного дифференциального уравнения (3.1) находим z'(x 0 ), подставив в него начальное условие. Зная z 0 в точке x 0 (начальное условие) по формуле (3.2), можно найти z 1, затем, используя уже известные значения x 1 и z 1, вычислить z 2 и z 2 и так далее. Метод Эйлера можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений (ДУ) и, следовательно, для решения уравнений второго и более высоких порядков, т. к. любое ДУ n-го порядка можно свести к системе n уравнений первого порядка [3, с. 79]. Например, перемещение (прогиб) балки Z(x) в любом сечении по её длине можно определить, используя дифференциальное уравнение упругой линии балки: z» = M(x)/ EJ(x) [9, с. 143]. Это уравнение второго порядка можно свести к системе двух уравнений первого порядка, заменив вторую производную прогиба z на первую производную угла поворота сечения φ: 18
19 ϕ ‘ = M( x)/ EJ( x). z =ϕ Задача Коши в этом случае содержит два начальных условия: z(x 0 ) = z 0, φ(x 0 ) = φ 0. Рекомендации к выполнению лабораторной работы «Метод Эйлера» 1. Изучить литературу [1, 2, 3, 7, 10] по вопросам решения ОДУ численными методами. 2. Составить программу решения системы ДУ методом Эйлера, протестировать ее на контрольных примерах. 3. Исходные данные для расчета балки взять по табл. 3.1 и рис Выполнить расчет для своего варианта и сохранить xls-файл с результатами работы. 5. Распечатать отчет с названием и целью работы, постановкой задачи, текстами программ и результатами расчетов. z z q q x x 1 2 z z z z z z q q P q P q q P q x x x x x x L/3 L/6 L/6 L/3 Рис Расчетные схемы балок 19
20 Таблица 3.1 Исходные данные Наименование Сосредоточенная сила Р, кн Распределенная нагрузка q, кн/м Пролет балки L, м схемы по рис. 3.2 Поперечное сечение балки двутавр Номер варианта По последней цифре учебного шифра По предпоследней цифре шифра По третьей с конца цифре шифра 20Б1 40Б1 30Б1 20Б1 40Б2 30Б1 30Б2 20Б2 30Б1 35Б2 Содержание лабораторной работы «Метод Эйлера» Тема. Решение дифференциального уравнения изогнутой оси консольной балки методом Эйлера. Цель. Изучить численные методы решения ОДУ, виды погрешностей при вычислениях, научиться составлять программы для решения систем дифференциальных уравнений с начальными условиями. Задание. Решить систему дифференциальных уравнений для заданного варианта балки: ϕ ‘ = M( x)/ EJ( x), начальные условия: z(x z =ϕ 0 ) = 0, φ(x 0 ) = 0. Оценить погрешность полученных результатов. Сопоставить полученное решение с результатами расчета аналогичной балки на ПК ЛИРА-САПР. Исходные данные для балки по варианту 845 пролет балки L = 4 м; интенсивность распределенной нагрузки q = 1.5 тс/м; расположение нагрузки по схеме 5; изгибная жесткость двутавра 30Б1 EJ = тс м 2. Для данного варианта изгибающие моменты в сечении балки с координатой Х вычисляются по следующим формулам: 20
21 0 =L/3 and x =2L/3 then m = 0 ‘вывод результатов в ячейки таблицы EXEL Cells(7, 1 + i) = m Cells(8, 1 + i) = fi Cells(9, 1 + i) = z 1000 ‘перевод прогиба в мм i = i + 1: x = x + h ‘переход к следующему узлу сетки fi = fi + h m / EJ ‘вычисление угла поворота z = z h fi ‘вычисление прогиба If i 22 Рис Распечатка результатов расчета методом Эйлера 4 Значение прогиба на конце балки, вычисленное по способу Верещагина [9, с.181]: z( 4) = M pm1dx / EJ = 13,6297 / 1327,2 = м = = 10,27 мм. 0 Вычисленное по методу Эйлера значение z = мм. Разность результатов составляет мм, относительная разность 3,95 %. Оценка средней локальной погрешности при n=60 и h= м составляет δ loc = O(h 2 2 ) = 1 ( 0 ) 4 h y x +. = ^2 4/( ) м = ^ 6 м. Оценка глобальной ошибки за 60 шагов δ Σ = ^ 6 60 = = 0.2 мм. Порядок выполнения работы на персональном компьютере Запустить Microsoft Excel. Подготовить файл с макросами. Ввести исходные данные, выполнить расчеты и напечатать результаты. Проверить правильность определения прогибов вручную способом Верещагина. 22
23 4. Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки методом конечных разностей Метод конечных разностей заключается в том, что исходное дифференциальное уравнение, например z» = M(x)/EJ(x), заменяется соответствующей ему системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) А Z = В. Решение этой системы дает приближенное решение для искомой функции z(x) в виде таблицы значений функции при заданных значениях аргумента на рассматриваемой области. Метод состоит из следующих основных этапов: 1. Построение сетки, охватывающей рассматриваемую область, например, балка пролетом L разбивается на n равных отрезков, точки x 0, x 1,, x n называются узлами сетки, параметр h = L /n шагом сетки. 2. Во всех узлах сетки исходное дифференциальное уравнение записывается в конечно-разностной форме (производные аппроксимируются конечно-разностными выражениями), при этом учитываются граничные условия в соответствующих узлах сетки. 3. Формирование на основе конечно-разностной аппроксимации системы линейных алгебраических уравнений и ее решение. Формулы для аппроксимации производных центральными разностями имеют вид: 1 1 z = ( z 1 1), ( ) i 2 i + z z z z z h i = i h i + i i +, 1 zi = 3 ( zi zi 1 2 zi+ 1 + zi+ 2 ), 2 h (4.1) IV 1 zi = 4 ( zi 2 4 zi zi 4 zi+ 1 + zi+ 2 ). h Погрешности решения методом конечных разностей в первую очередь определяются ошибкой, вносимой при замене исходного дифференциального уравнения его конечно-разностным аналогом. Оценки погрешностей при аппроксимации производных приведены в [3, с ], там же приведены выражения для аппроксимации производных левыми и правыми разностями по нескольким точкам. 23
24 Рассмотрим пример вычисления прогиба в середине пролета балки, загруженной равномерно-распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 4.1). z q x x z 1 z 1 z 2 L М1 М1 М2 Рис Расчетная схема шарнирно-опертой балки с жесткостью EJ ДУ изогнутой оси балки имеет вид: z» = M(x)/EJ(x). (4.2) Разобьем пролёт балки на четыре равные части, т. е. шаг сетки h = L/4. Узлам сетки присвоим номера 0, 1 и 2. Изгибающий момент в произвольном сечении балки определяется выражением: M(x) = q x (L x)/ Значения моментов в узлах 1 и 2: M1 = q L, M2 = q L. Используя выражение для второй производной из (4.1), перепишем уравнение (4.2) в разностной форме для узлов 1 и 2: z0 2z1 + z2 3 2 z1 2z2 + z1 4 2 = q L / EJ, = q L / EJ. Учитывая, что z h 32 h 32 = 0, h = L /4 и обозначая C = q L4 / (512 EJ), получаем систему: 2z1 + z2 = 3C; Находим её решение: 2z1 2z2 = 4C. 4 4 z C q L / EJ, q L / EJ 1 = 5 = 5 (512 ) = ; 24
25 4 4 z2 = 7C = 7 q L / (512 EJ ) = 0, q L / EJ. 4 4 Точное значение z2 = 5 q L / (384 EJ ) = 0, q L / EJ. Погрешность составляет 5 %. Рекомендации к выполнению лабораторной работы «Метод конечных разностей» 1. Изучить литературу [1, 2, 3, 4, 7, 10] по вопросам решения ОДУ численными методами. 2. Составить программу для решения ДУ четвертого порядка методом конечных разностей, протестировать ее на контрольных примерах. 3. Исходные данные для расчета балки взять по табл и рис В крайних узлах балки назначить связи в виде шарнирных опор. 4. Выполнить расчет для своего варианта и сохранить xls-файл с результатами работы. 5. Распечатать отчет с названием и целью работы, постановкой задачи, текстами программ и результатами расчетов. Содержание лабораторной работы «Метод конечных разностей» Тема. Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки методом конечных разностей (МКР). Цель. Научиться использовать МКР для решения задач об изгибе балок, ознакомиться с видами погрешностей при вычислениях, научиться составлять программы для решения дифференциальных уравнений. Задание. Найти численное решение дифференциального уравнения четвертого порядка изогнутой оси балки для заданного варианта: 4 d z qx ( ) /EJ( x) 4 dx =. (4.3) Заменить уравнение (4.3) конечно-разностными соотношениями. Сформировать матрицу коэффициентов при неизвестных СЛАУ в ленточной форме, решить СЛАУ методом Гаусса. Вычислить вручную прогиб в середине пролета балки, оценить погрешность полученного по МКР результата. Построить эпюры прогибов z(х), изгибающих моментов M(x) и поперечных сил Q(x). Сопоставить полученное решение с результатами расчета аналогичной балки на ПК ЛИРА- САПР. 25
26 Рассмотрим перечисленные ранее этапы решения ДУ МКР. Дифференциальные соотношения для параметров напряженнодеформированного состояния балки постоянного сечения имеют вид: IV ϕ ( x) = z, M ( x) = EJ z, Q( x) = EJ z, q( x) = EJ z. (4.4) Для балки по варианту 825 примем сетку с количеством узлов n = 100, шаг сетки h = 3/100 = 0.03 м. Граничные условия для шарнирного опирания балки в узлах сетки 0 (х = 0) и 100 (х = L) одинаковы прогибы и изгибающие моменты на опорах равны нулю: z(0) = 0, M(0) = EJ z»(0) = 0, z(100) = 0, M(100) = EJ z»(100) = 0. (4.5) Запишем исходное ДУ (4.3) для узла 1 в конечно-разностной форме: 4 z 1 4 z0 + 6 z1 4 z2 + z3 = h q / EJ, с учетом граничных условий в узле 0 и того, что прогиб за опорой в узле 1 равен прогибу в узле 1, но имеет противоположный знак (z 1 = z 1 ) получим: 4 0 z 1 0 z0 + 5 z1 4 z2 + z3 = h q / EJ. Для узла 2 получим: 4 0 z0 4 z1 + 6 z2 4 z3 + z4 = h q / EJ. Для узла 3 получим: z z + z z + z = h q EJ / Для узлов с 4 по 97 включительно уравнения точно такие же, как и для узла 3. В узлах 98 и 99 с учетом граничных условий в узле 100 и того, что прогиб за опорой в узле 101 равен прогибу в узле 99, но имеет противоположный знак (z 99 = z 101 ) получим уравнения: z z + z z + z = h q EJ, / z z + z z + z = h q EJ / В итоге сформирована СЛАУ из 99 уравнений с 99 неизвестными перемещениями (вектор Z) в узлах сетки на балке, система имеет ленточную структуру, ширина ленты m = 2. Для решения СЛАУ можно использовать программу из работы «Метод Гаусса» ( с. 6). Построить эпюры изгибающих моментов M(x) и поперечных сил Q(x) можно, используя формулы 4.1 и соотношения
27 Ниже приведен пример подготовки входной информации в тексте макроса, формирование ленточной СЛАУ и распечатка результатов расчета для балки по варианту 825. Sub mkr() ‘присвоение значений переменным l = 3: EJ = : q = 1.5: n = 100: m = 2 ‘вычисление шага сетки h = l / n ‘объявление массивов ReDim A(n 1, 2 m), Z(n), b(n 1) For i = 1 To n 1 ‘присвоение значений элементам матрицы А A(i, 0) = 1: A(i, 4) = 1: A(i, 1) = 4: A(i, 3) = 4: A(i, 2) = 6 b(i) = q (h ^ 4) / EJ Next i ‘корректировка значений элементов матрицы А в узле 1 A(1, 0) = 0: A(1, 1) = 0: A(1, 2) = 5 ‘корректировка значений элементов матрицы А в узле 2 A(2, 0) = 0 ‘корректировка значений элементов матрицы А в узле 98 A(n 2, 4) = 0 ‘корректировка значений элементов матрицы А в узле 99 A(n 1, 2) = 5: A(n 1, 3) = 0: A(n 1, 4) = 0 ‘вызов подпрограммы решения СЛАУ для вычисления вектора прогибов Z Call bands(n 1, m, A(), b(), Z()) Z(0) = 0: Z(n) = 0 ‘вывод прогибов Z в ячейки строки 1 Range(Cells(1, 1), Cells(1, n + 1)). FormulaArray = Z ‘объявление массивов для хранения моментов и поперечных сил ReDim VM(n), VQ(n) ‘вычисление изгибающих моментов VM(0) = EJ (Z(2) (2 Z(1)) + Z(0)) / (h ^ 2) ‘правые разности VM(n) = EJ (Z(n) (2 Z(n 1)) + Z(n 2)) / (h ^ 2) ‘левые разности For i = 1 To n 1 VM(i) = EJ (Z(i 1) (2 Z(i)) + Z(i + 1)) / (h ^ 2) Next i ‘вывод моментов в строку 2 Range(Cells(2, 1), Cells(2, n + 1)).FormulaArray = VM 27
28 ‘вычисление поперечных сил For i = 0 To 4 ‘правые разности VQ(i) = EJ (Z(i + 3) 3 Z(i + 2) + 3 Z(i + 1) Z(i)) / (h ^ 3) Next i For i = 5 To n ‘левые разности VQ(i) = EJ (Z(i) 3 Z(i 1) + 3 Z(i 2) Z(i 3)) / (h ^ 3) Next i ‘вывод поперечных сил в строку 3 Range(Cells(3, 1), Cells(3, n + 1)).FormulaArray = VQ End Sub Рис Распечатка результатов расчета по МКР Проверка значения прогиба в середине пролета балки при х = 1,5 м. 15. z (50) = M M dx / EJ = / ( ) = м. 0 p 1 Вычисленное значение z(50) = м. Порядок выполнения работы на персональном компьютере Запустить Microsoft Excel. Подготовить файл с макросами. Ввести исходные данные, выполнить расчеты и напечатать результаты. Проверить правильность определения прогибов вручную способом Верещагина [9, с. 181]. 28
29 5. Определение усилий и перемещений в балках с помощью ЛИРА-САПР ЛИРА-САПР это многофункциональный программный комплекс для расчета, исследования и проектирования конструкций различного назначения. ЛИРА-САПР с успехом применяется в расчетах объектов строительства, машиностроения, мостостроения и во многих других сферах, где актуальны методы строительной механики [8]. В данной лабораторной работе требуется подготовить входную информацию к расчету консольной балки по программе ЛИРА-САПР, выполнить статический расчет балки, вручную проверить полученные на ЭВМ значения моментов в сечениях балки и перемещений узлов способом Верещагина [9]. Рекомендации к выполнению лабораторной работы «ЛИРА- САПР» 1. Изучить литературу [8, 9] по вопросам расчета балок при изгибе. 2. Взять исходные данные для расчета балки из табл. 3.1 и на рис Схемы балок и нагрузки на них показаны на рис. 3.2, материал балок сталь, геометрические параметры балок и значения нагрузок указаны в табл Составить входную информацию для ПК «ЛИРА-САПР». 4. Выполнить расчет для своего варианта балки и сохранить экранные формы с результатами. 5. Распечатать отчет с названием и целью работы, постановкой задачи, результатами расчетов и проверок. Содержание лабораторной работы «ЛИРА-САПР» Тема. Определение усилий и перемещений в балках с помощью ПК ЛИРА-САПР. Цель. Научиться составлять входную информацию к расчету балок на ПК ЛИРА-САПР, освоить процедуры задания жесткостных характеристик, нагрузок, научиться читать и интерпретировать результаты расчета. Задание. Выполнить статический расчет консольной балки по программе ЛИРА-САПР [8]; выполнить вручную проверку полученных на ЭВМ значений моментов в сечениях балки и перемещений 29
30 узлов способом Верещагина [9]. Построить эпюры прогибов z(х), изгибающих моментов M(x) и поперечных сил Q(x). Рассмотрим основные этапы подготовки входной информации, расчета и чтения результатов для балки на основе учебного пособия [8]. Расчетная схема балки представлена на рис z q = 1,5 тс/м Двутавр 80Б стержня узла 1 м 1 м 1 м 4 х Рис Расчетная схема балки Этап 1. Создание новой задачи Для создания новой задачи выполните пункт меню Файл Новый. В появившемся диалоговом окне Признак схемы (рис. 5.2) задайте следующие параметры: имя создаваемой задачи Пример 7 (шифр задачи по умолчанию совпадает с именем задачи); признак схемы 2 Три степени свободы в узле (два перемещения и поворот) X0Z. После этого щелкните по кнопке Подтвердить. Рис Диалоговое окно Признак схемы 30
31 Этап 2. Создание геометрической схемы балки Вызовите диалоговое окно Создание плоских фрагментов и сетей с помощью меню Схема Создание Регулярные фрагменты и сети. Принимаем деление пролета балки на 3 части. Поэтому в этом диалоговом окне задайте следующие параметры: Шаг вдоль первой оси: L(м) N 1 3 Остальные параметры принимаются по умолчанию (рис. 5.3). После этого щелкните по кнопке Применить. Для сохранения информации о расчетной схеме выполните пункт меню Файл Сохранить. В появившемся диалоговом окне Сохранить как задайте: имя задачи Пример 7; папку, в которую будет сохранена эта задача (по умолчанию выбирается папка LData). Щелкните по кнопке Сохранить. Рис Диалоговое окно 31
32 Создание плоских фрагментов и сетей Этап 3. Задание граничных условий Вывод на экран номеров узлов и элементов. Выполните пункт меню Опции Флаги рисования. В диалоговом окне Показать при активной закладке Элементы установите флажок Номера элементов. После этого перейдите на вторую закладку Узлы и установите флажок Номера узлов. Щелкните по кнопке Перерисовать. На рис. 5.4 представлена полученная схема Рис Нумерация узлов и элементов расчетной схемы Выделение узла 1. Выполните пункт меню Выбор Отметка узлов (кнопка на панели инструментов). С помощью курсора выделите узел 1 (узел окрашивается в красный цвет). Задание граничных условий в узле 1. С помощью пункта меню Схема Связи вызовите диалоговое окно Связи в узлах (рис. 5.5). В этом окне, с помощью установки флажков, отметьте направления, по которым запрещены перемещения узлов (X, Z и Uy). После этого щелкните по кнопке Применить (узлы окрашиваются в синий цвет). Рис Диалоговое окно Связи в узлах Этап 4. Задание жесткостных параметров элементам балки. Выполните пункт меню Жесткости Жесткости элементов. В диалоговом окне Жесткости элементов в списке типов жесткостей выделите курсором тип жесткости 1 Двутавр_ 80Б1. 32
33 Щелкните по кнопке Установить как текущий тип (при этом выбранный тип записывается в окне редактирования Текущий тип жесткости. Можно назначить текущий тип жесткости двойным щелчком на строке списка). С помощью курсора выделите элементы 1, 2, 3. В диалоговом окне Жесткости элементов щелкните по кнопке Назначить. Этап 5. Задание нагрузок Формирование загружения 1. Выделите все элементы. Вызовите диалоговое окно Задание нагрузок (рис. 5.6) с помощью меню Нагрузки Нагрузка на узлы и элементы. В этом окне перейдите на закладку Нагрузки на стержни (по умолчанию указана система координат Глобальная, направление по оси Z). Рис Диалоговые окна Параметры и Задание нагрузок Щелчком по кнопке равномерно распределенной нагрузки вызовите диалоговое окно Параметры. В этом окне задайте интенсивность нагрузки р = 1.5 т/м (рис. 5.6). Щелкните по кнопке Подтвердить. 33
34 После этого в диалоговом окне Задание нагрузок щелкните по кнопке Применить. Этап 6. Расчет балки Запустите задачу на расчет с помощью меню Режим Выполнить расчет (кнопка на панели инструментов). Этап 7. Просмотр и анализ результатов расчета После расчета задачи, переход в режим результатов расчета осуществляется с помощью меню Режим Результаты расчета. В режиме просмотра результатов расчета по умолчанию расчетная схема отображается с учетом перемещений узлов (рис. 5.7). Для отображения схемы без учета перемещений узлов выполните пункт меню Схема Исходная схема (кнопка на панели инструментов) Рис Расчетная схема балки с учетом перемещений узлов Вывод на экран эпюр внутренних усилий Выведите на экран эпюру My с помощью меню Усилия Эпюры Эпюры изгибающих моментов (My). Рис Эпюра изгибающих моментов Му Формирование и просмотр таблиц результатов расчета Для вывода на экран таблиц со значениями перемещений узлов или усилий в элементах схемы, выполните пункт меню Окно Стандартные таблицы. После этого в диалоговом окне Стандартные таблицы (рис. 5.9) выделите строку Перемещения. Щелкните по кнопке Применить (для создания таблиц в формате HTML нужно включить радио-кнопку HTML. 34
35 Рис Диалоговое окно Стандартные таблицы В результате этих действий на экране появится приведенная ниже таблица перемещений узлов. Единицы измеpения линейных пеpемещений: мм ПЕРЕМЕЩЕНИЯ УЗЛОВ Узел 2 Узел 3 Узел 4 1 ЗАГРУЖЕНИЕ 1 Z UY Аналогично можно вывести на экран таблицу усилий. Единицы измеpения усилий: т. Единицы измеpения моментов: т м У С И Л И Я /НАПРЯЖЕНИЯ/ В ЭЛЕМЕНТАХ 10_ ЗАГРУЖЕНИЕ 1 M Q
36 Для того чтобы закрыть таблицы, выполните пункт меню Файл Закрыть. Для проверки правильности определения усилий нужно вычислить момент и поперечную силу в заделке балки (стержень 1, сечение 1): М = q L²/2 = /2 = 6.75 тс м; Q = q L = = 4.5 тс. Результаты совпадают со значениями в таблице усилий. Проверить правильность вычисления прогибов можно, перемножив грузовую эпюру моментов Му на эпюру моментов от приложенной в точке определения прогиба единичной силы. Для этого можно воспользоваться способом Верещагина [9] или прибегнуть к помощи электронного справочника инженера ЭСПРИ, входящего в пакет программ ЛИРА. На рис приведен результат проверки прогиба балки в узле 4. Результат перемножения эпюр R2 = м. Перемещение узла 4 по z = мм, расхождение составляет мм или %. Порядок выполнения работы на персональном компьютере Запустить ПК ЛИРА-САПР. Ввести исходные данные, выполнить расчеты, проверить правильность определения усилий и прогибов вручную, напечатать результаты. Рис Диалоговое окно ЭСПРИ Перемножение эпюр 36
37 6. Определение критической нагрузки для центрально-сжатого стержня Ряд задач механики, в том числе анализ устойчивости стержневых систем, сводится к отысканию собственных значений и собственных векторов квадратных матриц. a11. a1 n Пусть дана квадратная матрица A = порядка n. an 1. a nn Характеристической матрицей матрицы A называют матрицу a11. a1 n a11 λ. a1 n A λe = λ 0 0 = an 1. a nn an 1. a nn λ с переменной λ. α11 λ. α1 n Определитель A λe = называют характеристическим многочленом матрицы А, уравнение A λe =0 её ха- αn 1. αnn λ рактеристическим уравнением, а его корни λ 1, λ 2. λ n характеристическими числами матрицы А. Собственным вектором матрицы А называется всякий ненулевой вектор Х, удовлетворяющий условию A X = λ X. Каждому собственному значению λ i соответствует свой собственный вектор X i. Равенство A X = λ X можно переписать в виде (А λе)х = 0 или, что то же самое, в виде ( α11 λ ) x α 1nxn = 0. (6.1) α n1x ( α λ nn ) x = n 0. Если известно собственное значение λ, то все собственные векторы матрицы А, принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения этой системы. С другой стороны, эта однородная система с квадратной матрицей А λе имеет ненулевые решения Х тогда и только тогда, когда определитель A λe матрицы этой системы равен нулю. 37
38 Для отыскания всех собственных значений λ матрицы А нужно найти корни характеристического многочлена A λe, а для отыскания всех собственных векторов матрицы А нужно найти все ненулевые решения однородной системы (6.1) при каждом собственном значении λ матрицы А. Определим критическую нагрузку для сжатого стержня вычислением собственных значений квадратных матриц, используя метод конечных разностей (МКР). Дифференциальное уравнение упругой линии стержня при действии продольной силы имеет вид [9, с. 434]: N z + i z = 0. (6.2) EJ Для определения критической силы N методом конечных разностей это уравнение в каждом узле, где неизвестны перемещения, заменяем разностными уравнениями, используя разностную аппроксимацию второй производной (4.1): 1 N ( z 2 ) 2 i 1 zi + zi+ 1 + zi = 0. (6.3) h EJ Балку, изображенную на рис. 6.1, разделим на четыре равных участка. Основные неизвестные МКР с учетом симметрии формы потери устойчивости будут z 1 и z 2. 1 z N x z 1 = z1 z 3 = z1 z 1 L/4 z 2 L/4 L Рис Схема балки и основные неизвестные МКР Запишем уравнение (6.3) для узлов 1 и 2. С учетом граничных условий в узле 0 z 0 = 0, а также с учетом симметрии z 1 = z 3 получим: 38
39 1 N 2 ( z 0 2 z 1 + z 2 ) + z 1 = 0 ; h EJ 1 N 2 ( z 1 2 z 2 + z 1 ) + z 2 = 0. (6.4) h EJ 2 L N L Принимая во внимание, что h =, z 4 0 = 0 и обозначая λ= 16 EJ получим однородную систему из двух уравнений: (λ 2)z 1 + z 2 = 0;, 2z 1 + (λ 2)z 1 = 0. (6.5) Приравнивая определитель системы (6.5) к нулю, получим квадратное уравнение: λ 2 4λ + 2 = 0, наименьший корень которого равен λ min = 2 2 = 0, Приближенное значение критической λmin EJ EJ силы N = 16 = 9,376. Точное значение критической силы 2 2 L L при шарнирном опирании концов определяется по формуле Эйлера [9, с. 435]: N = = 9,8696. Значение N 2 π EJ EJ 2 2 L L кр по МКР на 5 % меньше точного. Подставляя λ min в любое из уравнений (6.5), можно выразить z 1 через z 2 : z 1 = 0,707z 2, т. е. потеря устойчивости происходит по одной полуволне синусоиды. Порядок системы (6.5) при увеличении количества узлов сетки возрастает, для определения собственных значений λ и собственных векторов требуется применение ЭВМ. Рекомендации к выполнению лабораторной работы «Устойчивость» 1. Изучить литературу [1, 2, 3, 4, 7, 9, 10] по вопросам решения ОДУ численными методами и нахождения собственных значений и собственных векторов матриц. 2. Исходные данные для расчета стержня взять по табл. 6.1 и рис Составить расчетную схему стержня, выбрать шаг сетки и наметить основные неизвестные. 4. Сформулировать условия опирания стержня и выразить значения прогибов в законтурных узлах через основные неизвестные. 5. Переписать уравнение (6.2) или (6.7) в конечно-разностной форме для всех узлов сетки, сформировать соответствующую однородную СЛАУ. 39
40 6. Составить программу для вычисления определителя матрицы А методом Гаусса, вычислить минимальное собственное значение матрицы А и соответствующий собственный вектор. 7. По минимальному собственному значению λ min и соответствующему ему собственному вектору определить минимальную критическую нагрузку и построить форму потери устойчивости стержня. 8. Сопоставить результат с известным точным или приближенным решением. 9. Распечатать отчет с названием и целью работы, постановкой задачи, текстами программ и результатами расчетов и анализа. Исходные данные Таблица 6.1 Наименование Номер варианта По последней цифре учебного шифра схемы по рис По предпоследней цифре шифра Длина стрежня L, м Поперечное сечение верхней части стержня двутавр Поперечное сечение нижней части стержня двутавр По третьей с конца цифре шифра 20Б1 30Б1 35Б1 20Б1 30Б2 35Б1 20Б2 30Б2 35Б1 20Б2 30Б1 35Б1 20Б1 30Б1 35Б2 20Б1 30Б2 35Б2 20Б1 30Б2 40
41 x x x x x x N N N N N N EJ1 EJ2 EJ1 EJ2 EJ1 EJ2 EJ1 EJ2 EJ1 EJ2 EJ1 EJ2 L/2 L/2 z z z z z cx.1 cx.2 cx.3 cx.4 cx.5 cx.6 Рис Схемы опирания стержней Приведем формулировку граничных условий для схем на рис. 6.2: Схема 1: z(0) = 0, z»(0) = 0, z(l) = 0, z»(l) = 0. Схема 2: z(0) = 0, z'(0) = 0, z»(l) = 0, EJ z»'(l) = N z'(l). Схема 3: z(0) = 0, z'(0) = 0, z(l) = 0, z'(l) = 0. Схема 4: z(0) = 0, z'(0) = 0, z(l) = 0, z»(l) = 0. Схема 5: z(0) = 0, z»(0) = 0, z(l/2) = 0, z(l) = 0, z»(l) = 0. Схема 6: z(0) = 0, z»(0) = 0, z(l) = 0, z'(l) = 0. Содержание лабораторной работы «Устойчивость» Тема. Определение критической нагрузки для центрально-сжатого стержня. Цель. Научиться использовать метод конечных разностей и методы определения собственных чисел и собственных векторов матриц для решения задач об устойчивости стержней, научиться составлять программы для итерационного вычисления собственных значений и собственных векторов матриц. Задание. Найти минимальную критическую силу для заданного варианта стержня. Построить форму потери устойчивости. Сопо- 41