Теорема пифагора в строительстве крыши

Варианты построения прямых углов при строительстве дома и проверка углов при уже возведенном сооружении.

В этой статье хотел бы поделиться, какие вообще распространены варианты построения прямых углов, и как проверить углы уже возведенного дома, не имея доступа к замеру его диагоналей.

Оговорюсь, что вариантов множество, и большинство из них выражается через тригонометрические функции или с помощью сложных геометрических построений))), но нам это ни к чему, так как на стройке никто не будет браться за сложные вещи и сидеть с букварём, теряя время!

В данной статье рассмотрю следующие варианты получения прямого угла:

Теорема Пифагора

Самый часто используемый и очень надежный способ. Теорема устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Геометрическое построение

Ни чуть не хуже Пифагорова треугольника, но не часто используемое (наверное, в силу забывчивости), хотя очень даже эффективное!

Зная угол здания (точка О), равноудаляем от него две точки О1 и О2 по оси А. Одинаковое расстояние можем откладывать как хотим, используя: рулетку, циркуль (колышек с веревкой) или обрезок доски, да вообще что угодно, главное иметь равные расстояния от точки О.

Из точек О1 и О2 поочередно одинаковым радиусом (радиус произвольный, но больше чем отложенное расстояние от точки О до О1 или О2) чертим дуги примерно там, где будет пересечение их со второй осью В (со второй стеной). Точка пересечения двух дуг (на рисунке дуги выделены зеленым цветом) и будет давать ровно прямой угол с проведенным отрезком к точке О (к углу будущего здания).

И напоследок упрощенный вариант

Вместо черчения дуг от точек О1 и О2, берутся две рулетки (рулетки без погрешности между собой, допустимое отклонение 2-3 мм. на 10 м. по размерной шкале) и кладутся нулевой отметкой к каждой из точек О1 и О2.

Далее просто совмещаем их одинаковыми значениями по мерной шкале (точка Х) и всё, перпендикуляр готов. В данном случае построен равнобедренный треугольник, где его высота делит основание ровно пополам и образует с ним прямой угол.

Проверка прямого угла построенного здания

Все вышеописанные способы так же применимы и к уже стоящим зданиям. Они используются как проверка за строителями, а так же в случаях, если требуется заливать фундамент по периметру старого дома и/или ровно облицевать ветхий домик каким-либо материалом.

Используя бечевку, протягиваем ее параллельно стенам и закрепляем колышками. После чего снимаем замер.

При геометрическом построении, пересечение дуг будет не по стене, как выше описывалось, а по «невидимому продолжению стены» (на рисунке обозначено точкой Х). То же самое и с двумя рулетками.

При необходимости, все способы свободно комбинируются или взаимозаменяются.

На этом всё, спасибо Вам за уделенное внимание!

Если Вам был полезен материал, ставьте лайк и подписывайтесь на мой канал! Впереди много интересных тем!

Источник

Как правильно выводить прямой угол фундамента на стройплощадке с применением теоремы Пифагора

Под моей статьёй «Как вывести прямой угол на фундаменте и для чего он нужен» появилось ряд комментариев, где утверждается что я иду сложным путем вместо того, чтобы просто применить теорему Пифагора.

Хочу сказать, что это довольно странные утверждения ведь я как раз и опираюсь на эту теорему. Видимо комментаторы, как обычно, просто не читают что написано в тексте публикации, а реагируют на заголовок.

Но всё равно хочу ответить на эти высказывания. Итак.

В комментариях утверждается что проще и точнее отмерить на одном из углов треугольник с катетами равными трём и четырем метрам соответственно. Гипотенуза должна составить пять метров.

В результате угол, составленный катетами, будет равен 90 градусам. То есть он будет прямым.

Казалось бы, всё просто. Но есть одна проблема. Всё просто, когда вы рисуете это на бумаге. То есть на плоскости. В полевых условиях выдержать шнурку в плоскости достаточно сложно. Причем желательно что бы строительная шнурка была натянута в горизонтальной плоскости. Почему я считаю это важным?

Давайте рассмотрим такой пример.

Допустим вы натянули шнурку с одной стороны выше горизонтальной плоскости, а с другой стороны – ниже.

Что получится, когда вы построите треугольник с нужной гипотенузой? Получится угол менее 90 градусов. Пусть это будет небольшая погрешность, но, например, при длине стен равной девяти и двенадцати метрам соответственно погрешность станет довольно существенной. И если допустить её на каждом из четырех углов, то в результате вы получите или ромб, или трапецию.

Поэтому в любом случае надо обязательно делать контрольный замер диагонали.

Только при равной длине диагоналей вы получите прямые углы.

Я как раз и предлагаю сразу опираться на это.

Поэтому предлагаю всем, кто легко и просто рисует треугольники на бумаге, пойти и сделать это в полевых условиях. Причем сделать это как они предлагают и как делаю я.

Потом уже высказываться.

Кстати, в видео я умышленно делаю не совсем правильно, но почему-то никто этого не замечает.

Что ещё раз говорит о знаниях моих критиков.

Что там неправильно я пока не буду говорить напишу об этом в другой раз.

Попутно хочу ответить на один комментарий что выводить прямые углы на фундаменте с помощью нивелира практически невозможно. Что там будут жуткие погрешности.

Как я уже писал выше погрешности могут быть при любом способе даже при использовании тахеометра. Всё зависит от того, кто это делает.

Поэтому оптический нивелир, на котором есть горизонтальный лимб вполне можно использовать для выведения прямых углов. Как это сделать я тоже напишу в дальнейшем.

Повторюсь ещё раз, самым точным методом будет вызов геодезиста со специальным оборудованием.

Я же предлагаю варианты выведения прямого угла, которые можно использовать если у вас по каким-то причинам нет возможности прибегнуть к услугам специалистов. Либо вы сами считаете себя вполне способным справиться с этой задачей.

Надеюсь, мои пояснения будут вам полезны.

Подписывайтесь на мой канал, будет ещё много познавательных материалов)

Источник

Презентация к уроку

Цель урока: изучение теоремы Пифагора и ее применение.

Оборудование и материалы: мультимедийный проектор, РС, учебник, раздаточный материал презентация к уроку и флеш проекты учащихся.
Особенностью урока является то, что он базируется на флеш – проектах учащихся.с использованием РС.

«Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!»

1. Пифагор Самосский и история доказательства теоремы (5 мин.) (слайды 5-9)

2. Различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков (3 мин.) (слайды 10-16)

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:
«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».
В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так:
Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. В переводе это означает:
«Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».
Современная формулировка теоремы Пифагора «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

3. Доказательсто теоремы Пифагора (5 мин.) (слайды 17-20)

Доказательство:

1. (а + b) 2 = 4S + c 2
2. 4S = 4 · 1/2 ab = 2 ab
3. а 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2
4. а 2 + b 2 = c 2

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство “убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозваны по этому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

4. Примеры различных способов доказательства теоремы (5 мин.) (слайды 21-29)

5. Примеры применения теоремы Пифагора на практике (18 мин.) (слайды 30-31)

В планиметрии:

1. Квадрат со стороной а и диагональю d.

Рассмотрим применение теоремы Пифагора для нахождения диагонали квадрата со стороной а.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, тогда d 2 = a 2 + a 2 откуда: d 2 = 2a 2 d = а 2

2. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b.
По теореме Пифагора: d 2 = a 2 + b 2

Рассмотрим пример вычисления диагонали прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см.

3. Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом по теореме Пифагора

а 2 = h 2 + (1/2a) 2
h 2 = a 2 – (1/2a) 2 h = 1/2a3

Рассмотрим пример вычисления длины высоты в равностороннем треугольнике со стороной 4 см.

В стереометрии:

Вычисление длины диагонали прямоугольного параллелепипеда

В архитектуре:

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b/2 и r = b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4 + p, один катет равен b/4, а другой b/2 – p.
По теореме Пифагора имеем: (b/4 + p) 2 = (b/4) 2 + (b/2 – p) 2
Решив данное уравнение, легко найти радиус внутренней окружности р = b/6

В строительстве:

Возможно, кто-то сочтёт приложения теоремы Пифагора сугубо теоретическими. Но это не так. Если, например, рассматривать треугольную призму как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идёт о том, какой длины нужно сделать боковые рёбра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши. Заметим, что расчёт площади кровли можно сильно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит:
Чтобы найти площадь поверхности двухскатной крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить площадь чердака Sч на длину стропила и разделить на половину ширины дома.
Например, при строительстве любого сооружения рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом значение теоремы кроме вышесказанного в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

В физике:

В астрономии:

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы, которые долгое время считались искусственными)и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 000 франков тому, кто первый установит связь с каким – нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса Световой сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

В литературе:

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни.
О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист o Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.
Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик», написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

6. Легенда о смерти Пифагора

Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда ночной караул прибыл на место происшествия, в колеблющемся свете факелов все увидели распростертого на земле старца, и неподалеку от него – мальчик 12 с лицом, перекошенным от ужаса.
– Кто это? – спросил начальник караула у мальчика
– Это Пифагор, – ответил тот.
– Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем.
– Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили.
– Сколько их было?
– Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и накинулись на него. Начальник караула стал на колени и приложил руки к груди старца.
– Конец, – сказал начальник.
«Одному только разуму, как мудрому попечителю, должно вверять свою жизнь»

7. Подведение итогов урока. Тест (3 мин)

Тест: (слайды 32-34)

– К каким треугольникам можно применить теорему Пифагора?

– Верно ли, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы?

Раздаточный материал:

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.

Источник