Теория графов в строительстве
ГРАФЫ И ОБЛАСТИ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
«В математике следует помнить не формулы, а процесс мышления…»
Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации, что очень важно для нормального функционирования общественной жизни. Именно этот фактор определяет актуальность их более подробного изучения. Поэтому тематика данной работы достаточно актуальна.
Цель исследовательской работы: выяснить особенности применения теории графов в различных областях знаний и при решении логических задач.
Цель определила следующие задачи:
познакомиться с историей теории графов;
изучить основные понятия теории графов и основные характеристики графов;
показать практическое применение теории графов в различных областях знаний;
рассмотреть способы решения задач с помощью графов и составить собственные задачи.
Объект исследования: сфера деятельности человека на предмет применения метода графов.
Предмет исследования: раздел математики «Теория графов».
Гипотеза. Мы предполагаем, что изучение теории графов может помочь учащимся решать логические задачи по математике, что определит их дальнейшие интересы.
Методы исследовательской работы:
В ходе нашего исследования были использованы такие методы, как:
1) Работа с различными источниками информации.
2) Описание, сбор, систематизация материала.
3) Наблюдение, анализ и сравнение.
4) Составление задач.
Новизна работы заключается в авторском составлении задач по теме исследования и нахождении практического использования теории графов в современном мире.
Теоретическая и практическая значимость данной работы определяется тем, что результаты могут быть использованы на информатике, математике, геометрии, черчении и классных часах, а также для широкого круга читателей, заинтересованных данной темой. Исследовательская работа имеет выраженную практическую направленность, так как в работе автором представлены многочисленные примеры применения графов во многих областях знаний, составлены свои задачи. Данный материал можно использовать на факультативных занятиях по математике.
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Теория графов. Основные понятия
В математике «граф» можно изобразить в виде картинки, которая представляет собой некоторое количество точек, соединенных линиями. «Граф» происходит от латинского слова «графио» – пишу, как и известный дворянский титул.
В математике определение графа дается так:
Термин «граф» в математике определяется следующим образом:
Граф– это конечное множество точек – вершин, которые могут быть соединены линиями – ребрами.
В качестве примеров графов могут выступать чертежи многоугольников, электросхемы, схематичное изображение авиалиний, метро, дорог и т.п. Генеалогическое дерево также является графом, где вершинами служат члены рода, а родственные связи выступают в качестве ребер графа.
Схема Санкт-Петербургского метро
Рис. 1 Примеры графов
Число ребер, которое принадлежит одной вершине, называется степенью вершины графа. Если степень вершины нечетное число, вершина называется – нечетной. Если степень вершины число четное, то и вершина называется четной.
Рис. 2 Вершина графа
Нуль-граф – это граф, состоящий только из изолированных вершин, не соединенных ребрами.
Полный граф – это граф, каждая пара вершин которого соединена ребром. N-угольник, в котором проведены все диагонали, может служить примеров полного графа.
Если в графе выбрать такой путь, когда начальная и конечная точка совпадают, то такой путь называется циклом графа. Если прохождение через каждую вершину графа происходит не более одного раза, то цикл называется простым.
Если в графе каждые две вершины связаны ребром, то это связанный граф. Граф называется несвязанным, если в нем есть хотя бы одна пара несвязанных вершин.
Если граф связанный, но не содержит циклов, то такой граф называетсядеревом.
Характеристики графов
Путь графа– это такая последовательность, в которой каждые два соседних ребра, имеющих одну общую вершину, встречаются только один раз.
Длина кратчайшей цепи из вершин a и b называется расстоянием между вершинами a и b.
Вершина а называется центром графа, если расстояние между вершиной а и любой другой вершиной является наименьшим и из возможных. Такое расстояние есть радиус графа.
Максимально возможное расстояние между двумя любыми вершинами графа называется диаметром графа.
Раскраска графов и применение.
Если внимательно посмотреть на географическую карту, то можно увидеть железные или шоссейные дороги, которые являются графами. Кроме этого на катре есть граф, который состоит из границ между странами (районами, областями).
В 1852 году английскому студенту Френсису Гутри поставили задачу раскрасить карту Великобритани, выделив каждое графство отдельным цветом. Из-за небольшого выбора красок Гутри использовал их повторно. Он подбирал цвета так, чтобы те графства, которые имеют общий участок границы, обязательно окрашивались в разные цвета. Возник вопрос, какое наименьшее количество красок необходимо для раскрашивания различных карт. Френсис Гутри предположил, хотя и не смог доказать, что четырех цветов будет достаточно. Эта проблема бурно обсуждалась в студенческих кругах, но позже была забыта.
Только в 1879 году данная задача была опубликована в первом томе «Трудов Королевского географического общества» известным английским математиком Артуром Кэли. Так она получила широкую известность.
«Проблема четырех красок» вызывала все больший интерес, но так и не была решена, даже выдающимися математиками. В 1890 году английским математиком Перси Хивудом было доказано, что для раскрашивания любой карты будет достаточно пяти красок. А только 1968 году смогли доказать, что для раскрашивания карты, на которой изображено меньше сорока стран, будет достаточно 4 цветов.
В 1976 году эта задача была решена при использовании компьютера двумя американскими математиками Кеннетом Аппелем и Вольфгантом Хакеном. Для ее решения все карты были поделены на 2000 типов. Для компьютера была создана программа, которая исследовала все типы с целью выяления таких карт, для раскрашивания которых будет недостаточно четырех красок. Только три типа карт компьютер исследовать не смог, поэтому математики изучали их самостоятельно. В результате было установлено, что для раскрашивания всех 2000 типов карт будет достаточно 4 красок. Им было объявлено о решении проблемы четырех красок. В этот день почтовое отделение при университете, в котором работали Аппель и Хакен на всех марках ставило штемпель со словами: «Четырех красок достаточно».
Можно представить задачу о четырех красках несколько иначе.
Для этого рассмотрим произвольную карту, представив ее виде графа: столицы государств являются вершинами графа, а ребра графа связывают те вершины (столицы), государства которых имеют общую границу. Для получения такого графа формулируется следующая задача – необходимо раскрасить граф с помощью четырех цветов так, чтобы вершины, имеющие общее ребро были раскрашены разными цветами.
Эйлеровы и Гамильтоновы графы
В 1859 году английским математиком Уильямом Гамильтоном была выпущена в продажу головоломка – деревянный додекаэдр (двенадцатигранник), двадцать вершин которого были обозначены гвоздиками. Каждая вершина имела название одного из крупнейших городов мира – Кантон, Дели, Брюссель, и т.д. Задача заключалась в нахождении замкнутого пути, который проходит по ребрам многогранника, побывав в каждой вершине только один раз. Для отмечания пути использовался шнур, который цепляли за гвоздики.
Гамильтоновым циклом называется граф, путь которого является простым циклом, который проходит через все вершины графа по одному разу.
На реке Прегель расположен город Калининград (бывший Кенигсберг). Река омывала два острова, которые между собой и с берегами были соединены мостами. Старых мостов сейчас уже нет. Память о них осталась только на карте города.
Однажды один житель города спросил у своего знакомого, можно ли пройти по всем мостам, побывать на каждом только один раз и вернуться к тому месту откуда началась прогулка. Эта задача заинтересовала многих горожан, но решить ее никто не смог. Этот вопрос вызвал заинтересованность ученных многих стран. Решение проблемы получил математик Леонард Эйлер. Кроме этого он сформулировал общий подход к решению таких задач. Для этого он превратил карту в граф. Вершинами этого графа стала суша, а ребрами – мосты, ее соединяющие.
При решении задачи про мосты Кенигсберга Эйлеру удалось сформулировать свойства графов.
Начертить граф, начав движение с одной вершины и окончив в той же вершине одним росчерком (дважды не проводя по одной и той же линии и не отрывая карандаша от бумаги) возможно в том случае, если все вершины графа четные.
Если есть граф с двумя нечетными вершинами, то его вершины тоже можно соединить одним росчерком. Для этого нужно начать с одной, а закончить на другой любой нечетной вершине.
Если есть граф с числом нечетных вершин больше двух, то граф невозможно начертить одним росчерком.
Если применять эти свойства на задачу о мостах, то можно увидеть, что все вершины исследуемого графа нечетные, значит, этот граф нельзя соединить одним росчерком, т.е. невозможно пройти по всем мостам один раз и закончить путь в том месте, где он был начат.
Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все рѐбра графа по одному разу, то такой цикл называется Эйлеровым циклом. Эйлерова цепь (путь, цикл, контур) — цепь (путь, цикл, контур), содержащая все рѐбра (дуги) графа по одному разу.
ГЛАВА II. ОПИСАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ
2.1. Этапы проведения исследования
Для проверки гипотезы исследование включало три этапа (таблица 1):
Теория графов в строительстве
На первом этаже дома на одну семью (дом имеет прямоугольную форму) нужно расположить следующие элементы: кухню (К), столовую (С), зал, или жилую комнату (3), коридор (Ко) и гараж для автомобиля (Г). Между этими помещениями должны существовать проходы из гаража в кухню, из кухни в столовую, из столовой в зал, из зала в коридор и из коридора в гараж.
Если обозначить точками элементы К, С, 3, Ко и Г и соединить некоторые точки ребрами, обозначающими отношение «доступ к», получится граф, в котором четко виден цикл: при таком расположении комнат можно провести путь из любой комнаты в любую. На основе этого графа можно сделать различные эскизы.
Точками также можно обозначить наружное пространство или лестницу. Если речь идет о многоэтажных домах, то каждому этажу можно поставить в соответствие граф смежности и соединить точки, доступные с разных этажей, не прямыми, а ломаными линиями, которые будут обозначать лестницы.
Анализ графов в общественных зданиях поможет определить степень доступности различных отделов, расположение помещений — буфета, библиотеки, кинозала, а также пожарных лестниц.
После того как построен граф смежности и нарисован эскиз с нанесенными размерами, эскиз можно сопоставить с графом, где оцениваются размеры помещений согласно критерию, который объясняется ниже.
Обратите внимание, что все наши примеры очень просты. Графы особенно интересны при рассмотрении сложных ситуаций: в этом случае они позволяют существенно упростить анализ.
Нужно отметить вершины по числу стен, расположенных на чертеже горизонтально, а также две особые вершины — начальную и конечную. Все дуги графа должны быть направлены сверху вниз. Из каждой вершины выходят дуги, направленные вниз, на которых указываются размеры стен, расположенных на чертеже горизонтально.
На каждой вершине внутри круга указывается расстояние между стеной, соответствующей этой вершине, и следующей стеной, расположенной на чертеже горизонтально. В начальной вершине, точнее на входящем ребре, указывается общая ширина помещений, а внутри круга — их общая длина. В конечной вершине длина должна быть равна нулю, а на исходящем ребре должна быть нанесена общая ширина помещений. Заметим, что граф будет составлен неверно, если сумма значений для ребер, исходящих из данной вершины, будет не равна сумме значений для входящих ребер. Такие графы позволяют проверить правильность внутренних размеров помещений.
Еще один пример графов смежности представлен на следующих иллюстрациях.
Интерес в архитектуре также представляют графы, позволяющие оценить оптимальное расстояние между сообщающимися элементами. Это направление, особый вклад в развитие которого внес Т. Тейбор, описывает в общем виде оптимальное распределение архитектурных элементов, позволяющее сократить пути их обхода.
В небольшом масштабе эта задача не представляет интереса, но в ситуации, когда, например, на одном этаже офисного здания требуется разместить помещения, принадлежащие банку, министерству, администрации города и другим структурам, с помощью анализа стандартных маршрутов можно найти оптимальное расположение помещений, которое поможет упростить взаимодействия между организациями. Например, офисы одинаковой площади можно расположить на этаже в соответствии с одной из следующих пяти схем и эквивалентных им графов смежности.
Изучив расстояния между офисами (здесь мы имеем в виду реальное расстояние, которое нужно пройти, а не евклидово), можно определить, при каком из пяти расположений суммарный путь, который проходят сотрудники всех офисов, минимален. В экспериментах Тейбора использовалась скорость 1,5 м/с при перемещении по этажу и 0,3 м/с при перемещении по лестницам. Подобный принцип используется в урбанистике при проектировании крупных торговых центров и пешеходных зон, регулировании плотности транспортных потоков и для решения других подобных задач.
В теории графов применительно к архитектуре остается открытым вопрос о разбиении квадрата на прямоугольники горизонтальными и вертикальными линиями и определении всех возможных разбиений для каждого конкретного случая. Отметим, что цель задачи — найти не все возможные конечные графы, а только те, которые соответствуют допустимым разбиениям на плоскости.
Обозначим за n число прямоугольников, на которые мы хотим разбить квадрат. Было подсчитано, что для n = 1, 2, 3, 4, 5 и 6 существует соответственно 1, 1, 2, 7, 22 и 117 различных способов разбиения, которые не являются топологически эквивалентными.
Для n >= 7 эта задача до сих пор не решена. По некоторым оценкам,
для n = 7 существует около 700 решений, для n = 8 — примерно 10000, для n = 9 — порядка 250000 решений, но корректность подобной экстраполяции пока не подтверждена). Сегодня ученые занимаются поиском компьютерных алгоритмов решения этой задачи.