Шумилов к. А. Козлова е. М. Вероятностные методы в строительной механике
Часть 1
Рецензент: профессор Б. Г. Вагер (СПбГАСУ).
Шумилов К. А., Козлова Е. М.
Вероятностные методы в строительной механике: / учебное пособие / К. А. Шумилов; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – с.
Предлагаемое учебное пособие представляет собой практикум по использованию методов теории вероятностей в строительстве. Обучение предполагает наличие знаний по строительной механике. Основная задача автора – научить использовать вероятностные методы для анализа качества строительных проектов.
Предназначено для студентов технических специальностей.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом.
ISBN © К. А. Шумилов, Козлова Е. М. 2015
© Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2015
Оглавление
1.ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ. 4
2.Основные положения теории вероятностей 8
3. Характеристики распределения случайных величин 16
4.Некоторые наиболее важные законы распределения 34
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 34
где Pn(x) и pn(x) – интегральная функция распределения и плотность распределения максимумов, получаемых при n реализациях одной и той же с.в. Xi. 39
М.о. и дисперсия максимума в n опытах: 39
5. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 41
6. Приближенные методы нахождения распределения функций с.в. 52
7. Вероятность редких событий (появление случайного 54
события A за время T) 54
8. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ 55
8.1 Последовательное соединение элементов 55
Пример. Определим надежность статически неопределимой системы. 63
Дано: нагрузка и размеры – детерминированы, прочность (предел текучести Ry) всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245, Ry=240 МПа, МПа – м.о. предела текучести; (Ry)=25 МПа (достаточно большой разброс), N=130кН, А1=6см2, А2=10 см2, l1=1.5 м, l2=1 м, а=1 м. 63
Вычисляем усилия в стержнях. 64
Задачи теории вероятностей в строительстве. Понятие надежности и ее свойства
Обычный детерминистический подход к расчету конструкций состоит из двух этапов:
Вычисляются напряжения, деформации и перемещения в конструкциях, подверженных действию внешних нагрузок. Эта задача решается методами строительной механики, теории упругости, теории пластичности и т.д.
Вычисленные величины сопоставляются с нормативно допустимыми значениями. При этом решается задача надежности, долговечности и экономичности конструкции.
Однако реальная система и ее условия эксплуатации отличаются от идеализированной системы и условий, рассматриваемых на стадии проектирования. Фактически напряжения, деформации и перемещения являются случайными величинами из-за случайного характера внешних воздействий, прочностных и др. внешних условий. Поэтому надежность конструкции может быть определена с привлечением методов математической и статистической теории вероятностей.
Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта и транспортирования. Или надежность также – устойчивость качества по отношению ко всем возможным возмущениям. Надежность – количественный показатель (промежуток времени, число рабочих циклов, число километров и т.д.).
В зависимости от назначения системы и условий ее эксплуатации надежность включает свойства: 1) безотказность; 2) долговечность; 3) ремонтопригодность; 4) сохраняемость и любые их сочетания.
Безотказность – вероятность безотказной работы конструкции за определенный промежуток времени.
Долговечность – вероятный промежуток времени безотказной работы конструкции.
Ремонтопригодность – вероятность того, что неисправная система может быть восстановлена за заданное время.
Содержание теории надежности – разработка методов оценки надежности систем и создание систем, обладающих заданными показателями надежности и долговечности.
Задачи расчета на надежность состоят в определении вероятности выхода конструкции из строя в заданных условиях, нахождении по заданной экономически целесообразной надежности требуемых размеров конструкции, допустимых нагрузок или оптимального срока эксплуатации, а также оценки надежности системы по имеющимся оценкам надежности составляющих ее элементов. В задачу теории надежности строительных конструкций входит также обоснование процедур нормирования расчетных характеристик. Специфика теории надежности строительных конструкций состоит в необходимости учета случайных свойств нагрузок и воздействий на сооружения, а также учета совместного действия случайных нагрузок на систему со случайными прочностными характеристиками.
Основное понятие теории надежности – отказ – событие, состоящее в нарушении работоспособности системы. Понятие отказа близко по смыслу к понятию предельного состояния. К предельным состояниям 1-й группы относятся: общая потеря устойчивости формы, потеря устойчивости положения, любое разрушение, переход в изменяемую систему, качественное изменение конфигурации; состояния, при которых возникает необходимость прекращения эксплуатации в результате текучести материала, сдвига в соединениях, ползучести или чрезмерного раскрытия трещин. Предельные состояния 2-й группы – недопустимые деформации конструкций в результате прогиба, поворота или осадок, характеризуемых разностью вертикальных перемещений узлов, отнесенных к расстоянию между ними, креном сооружения в целом, относительным прогибом или выгибом, кривизной элемента, относительным углом закручивания, горизонтальным или вертикальным смещением элемента или сооружения в целом, углом перекоса или поворота. К предельным состояниям 2-й группы относятся также недопустимые колебания конструкции, изменение положения, образование или раскрытие трещин.
Отказы вызваны влиянием случайных факторов, поэтому они носят случайный характер. За показатель (меру) надежности системы может быть принята вероятность Р безотказной работы в течение всего срока службы Т.
Вероятностные методы расчета конструкций
Рекомендуемые темы
Для добавления файла нужно быть зарегистрированным пользователем. Зарегистрироваться и авторизоваться можно моментально через социальную сеть «ВКонтакте» по кнопке ниже:
Вы можете зарегистрироваться стандартным методом и авторизоваться по логину и паролю с помощью формы слева.
Не забывайте, что на публикации файлов можно заработать.
Применение теории вероятности и математической статистики в строительстве Текст научной статьи по специальности « Строительство и архитектура»
Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Каверин Александр Владиславович, Морозова Амина Рафкатовна
Рассмотрена необходимость изучения математической статистики и теории вероятности и основные направления применения этих разделов математики в профессиональной деятельности студентов, обучающихся по направлению «Строительство».
USING OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS IN THE CONSTRUCTION
The need to study of mathematical statistics and probability theory and basic direction of application of these sections of mathematics in professional activities of students enrolled in the direction of the construction were examined.
Текст научной работы на тему «Применение теории вероятности и математической статистики в строительстве»
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В СТОИТЕЛЬСТВЕ
Каверин Александр Владиславович
студент Чайковского технологического института (филиал) Ижевского государственного технического университета имени М.Т. Калашникова, РФ,
Пермский край, г. Чайковский Е-mail: AleksVKaverin@yandex.ru Морозова Амина Рафкатовна канд. техн. наук, доцент кафедры «Технологии и организация строительного производства» Чайковского технологического института (филиал) Ижевского государственного технического университета имени М. Т. Калашникова, РФ,
Пермский край, г. Чайковский
USING OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS IN THE CONSTRUCTION
student of Chaykovsky Institute of Technology (branch) Kalashnikov Izhevsk State
Technical University, Russia, Perm Krai, Chaykovsky
candidate of Science, docent of Chaykovsky Institute of Technology (branch) Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Russia, Perm Krai, Chaykovsky
Рассмотрена необходимость изучения математической статистики и теории вероятности и основные направления применения этих разделов математики в профессиональной деятельности студентов, обучающихся по направлению «Строительство».
The need to study of mathematical statistics and probability theory and basic direction of application of these sections of mathematics in professional activities of students enrolled in the direction of the construction were examined.
Ключевые слова: теория вероятности; математическая статистика; статистика в строительстве.
Keywords: probability theory; mathematical statistics; statistics in construction.
Целью дисциплины «Математика» является научить обучающихся математическому подходу к анализу прикладных (экономических) задач, а также математическим методам исследования и решения таких задач. Для каждого направления обучения существуют свои прикладные задачи. Область профессиональной деятельности бакалавров по направлению 08.03.01 «Строительство» включает: инженерные изыскания, проектирование, возведение, эксплуатацию, оценку и реконструкцию зданий и сооружений; инженерное обеспечение и знание оборудования строительных объектов и городских территорий; применение машин, оборудования и технологий для строительства и производства строительных материалов, изделий и конструкций [3]. Поэтому одной из задач изучения дисциплины «Математика» для будущих строителей является — ориентация на использование математических методов при решении прикладных задач, возникающих в их профессиональной деятельности. Наглядные примеры применения математических методов при решении конкретных задач всегда стимулируют интерес у учащихся. Связь абстрактных чисел и решений с конкретной проблемой и реальной задачей доступней для понимания.
Показать возможность применения и необходимость изучения некоторых разделов математики легко без особых затрат времени на объяснения. Например, то, что дифференциальные вычисления используются, для нахождения скорости и ускорения, а интегральные вычисления — для нахождения площадей. Но есть разделы математики, которые изучаются без наглядной демонстрации применения законов и формул в силу отсутствия времени на объяснения, или недостаточного владения учащимися материалом по другим дисциплинам, в которых применение соответствующих математических методов возможно и необходимо. К одному из таких разделов можно отнести теорию вероятности и математическую статистику.
У студентов, обучающихся по специальности «Экономика и управление на предприятии (в строительстве)» есть дисциплина «Математическая статистика». Можно встретить много примеров применения статистических методов в
Математическая статистика — это наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статических данных для научных и практических выводов. Математическая статистика в большинстве своих разделов опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала. Например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления — результаты наблюдений, также основано на методах этого раздела математики — методе теории вероятностей статистических данных.
Первостепенной задачей математической статистики является указание способа сбора и группировки статистических сведений, полученных экспериментальным путём или в результате наблюдений.
Второй задачей математической статистики является разработка методов анализа статистических данных в зависимости от цели исследования. К этому разделу относятся:
а. оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения известного вида; оценка зависимости случайно величины от одной или нескольких случайных величин;
б. проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.
Современная математическая статистика разрабатывает также способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ)
и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределённости.
В процессе обработки результатов исследуемые грунты предварительно разделяют на ИГЭ с учетом их происхождения, текстурно-структурных особенностей и вида. Характеристики грунтов в каждом предварительно выделенном ИГЭ анализируют с целью установить и исключить значения, резко отличающиеся от большинства значений, если они вызваны ошибками опытов или принадлежат другому ИГЭ. Окончательное выделение ИГЭ проводят на основе оценки характера пространственной изменчивости характеристик грунтов и их коэффициента вариации, а также сравнительного коэффициента вариации [2]. При этом устанавливают, изменяются ли характеристики грунтов в пределах предварительно выделенного ИГЭ случайным образом или имеет место их закономерное изменение в каком-либо направлении. Для анализа используют физические характеристики (удельный и объемный вес, влажность,
границу текучести и границу раскатывания глинистого грунта), а при достаточном количестве — и механические характеристики (угол внутреннего трения и удельного сцепления грунтов). Для оценки характера пространственной изменчивости характеристик их значения наносят на инженерно-геологические разрезы в точках определения, строят графики рассеяния, а также графики зондирования. Для выявления закономерного изменения характеристик строят точечные графики изменения их значений по направлению или применяют аппроксимирующие зависимости. Для осуществления всего этого процесса необходимо иметь представление о ряде терминов, положений и методов теории вероятности и математической статистики, таких как доверительный интервал и доверительная вероятность, закон распределения и среднеквадратичное отклонение, аппроксимирующие законы и ряд других понятий.
В последние годы математический аппарат теории вероятностей и математической статистики стал использоваться в методах расчета строительных конструкций. В связи со случайным характером внешних нагрузок и механических свойств материалов, в меньшей степени, но все таки, со случайными отклонениями геометрических параметров конструкций от проектных значений приходится искать пути решения задач расчета строительных конструкций с использованием статистических методов. Возможность достижения одного из предельных состояний здания или сооружения рассматривают как случайное событие, вероятность которого пытаются определить методами соответствующей теории. При этом предельное состояние может быть вызвано: превышением предела упругости в какой-либо точке конструкции, для которой остаточные деформации недопустимы; хрупким разрушением; возникновением слишком больших упругих деформаций. Наступление предельного состояния может включать временную составляющую, например результат постепенного необратимого накопления повреждений: развития усталостной трещины или механического износа, накопления пластических деформаций или деформаций ползучести.
Особое место занимают статистические методы в расчетах на устойчивость и колебания в строительной механике. Неправильность геометрических форм элементов конструкции изначально носит случайный характер. Поэтому при расчете элементов конструкции: стержней, пластин и оболочек устойчивой форме равновесия соответствует максимум вероятности ее реализации, неустойчивой — минимум вероятности. Оценка поведения реальной конструкции с учетом статистических методов, позволяет охарактеризовать её более полно, чем в рамках обычных представлений об устойчивости. Колебательные процессы, возникающие в сооружениях и конструкциях под действием подвижной нагрузки или в результате сейсмической активности можно рассматривать как явления, возникающие с определенной вероятностью. При их математическом моделировании возможно и необходимо учитывать статистические данные и рассматривать сам процесс как случайный. С подобными задачами обычно сталкиваются студенты старших курсов, или обучающиеся в магистратуре, и полноценное владение знаниями соответствующего раздела математики, наглядное представление об их использовании поможет не отпугнуть, а привлечь их к научно-исследовательской работе.
При этом хочется отметить, что главным применением теории вероятности и статистики в строительстве остается сбор и обработка данных. Существует много направлений их использования в данной отрасли. Помимо уже перечисленных стоит отметить статистический контроль качества продукции [6], который базируется на непостоянности характеристик материалов [1] и готовой продукции, а также параметров технологических процессов. Результаты отдельных исследований и измерений объединяют и используют их совокупности для описания анализа производственного процесса, его оптимизации. Если статистические методы контроля качества включить в систему управления качеством продукции, то они могут значительно повысить его эффективность. При их применении будет накапливаться необходимая информация о степени вариации качества материалов, технологических
процессов и готовой продукции, появится возможность уточнить существующие показатели и критерии качества, границы допусков и требования стандартов, что впоследствии позволит составить оптимальные условия изготовления продукции и управления ее качеством.
Другое важное направление использования математической статистики — экономическое. Учитывая, что это направление является важной составляющей развития любой отрасли, в том числе и связанной со строительством, его нельзя не упомянуть, а главное недооценить. Невозможно обойтись без статистики для оценки:
• темпов роста строительной отрасли, развития отдельных регионов, предприятий;
• эффективности использования той или иной технологии или продукции строительного производства;
• перспективы развития или эффективности внедрения мероприятий в строительной отрасли.
Например, в строительной сфере применяются такие методы как статистический контроль ввода в эксплуатацию жилых и производственных помещений [7], статистическое регулирование процессов строительства и другие методы.
Применение современных вычислительных и программных устройств позволяет существенно сократить процесс сбора и обработки информации, получения аппроксимирующих зависимостей и оценки результатов, позволяет доступно и наглядно продемонстрировать полученные выводы. Поэтому для применения методов теории вероятности и математической статистики в строительстве необходимо только их знание и желание использовать.
1. ГОСТ Р ИСО 12491-2011. Материалы и изделия в строительстве.
Статистические методы контроля качества. М.: Стандартинформ, 2011. —
2. ГОСТ 20522-2012. Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний. М.: Стандартинформ, 2013. — 16 с.
3. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 08.03.01 Строительство (уровень бакалавриата) [Текст]: (приказ Министерства образования и науки Российской Федерации, 2015 г.).
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/ В.Е. Гмурман. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2003. — 479 с.: ил.
5. Леднева О.В. Показатели оперативной бизнес статистики в разрезе строительной отрасли России // Экономика. Статистика. Информатика. Вестник УМО. — 2014. — № 3. — С. 145—152.
6. Статистические методы контроля качества продукции. /Л. Ноулер и др.: пер. с англ.-2-е русск. изд.-М.: Издательство стандартов, 1989. — 96 с.: ил.
7. Сивориновский Б.Г., Апарин Н.С., Заварина Е.С. Статистика капитального строительства в исследованиях НИИ Статистики РОССТАТА // Вопросы статистики. — 2013. — № 7. — С. 13—19.