Зачем нужны производные? Простое объяснение на примерах.
Здравствуй, дорогой читатель.
Не забудь про лайк, если было интересно!
Да, большинству из нас производные вообще не нужны, но это не значит, что у них нет применения. Наоборот. Производные всюду вокруг нас!
И чтобы показать, что на самом деле производной пользуются в очень многих областях науки, рассмотрим несколько очень простых примеров.
Пример №1
Допустим, решили Вы заняться спортом и отжимаетесь каждый день. Составили табличку и записываете туда свои результаты. В конце недели решили проанализировать, как росли результаты и составили график.
Другими словами, скорость роста нашей функции равна нулю.
На следующей неделе Вы собрались с духом и результаты пошли в гору.
Ну теперь явно видно, что наши результаты росли по 5 отжиманий в день, а значит, скорость роста функции, или производная равна 5.
И очень часто бывает так, что нужно найти какое-то максимальное или минимальное значение функции, здесь нам и помогает производная. Достаточно всего лишь найти корни, приравняв её к нулю.
Пример №2
Допустим, у нас в распоряжении 26 секций забора и нужно расположить эти секции таким образом, чтобы получить прямоугольник наибольшей площади.
Можно конечно пуститься во все тяжкие и начать перебирать, но можно и доказать, что на алгебре мы не зря штаны протирали
Далее, находим площадь фигуры, благо это не сложно.
Мы на полпути к успеху. Теперь, берем производную по площади и приравниваем её к нулю.
Получается, что наибольшую площадь будет иметь квадрат со стороной 6,5.
Трудно оценить, насколько эта задача «жизненная», но как по мне, ярко иллюстрирует, что знание даже базовых понятий о производной может сильно упростить жизнь.
В комментариях обязательно кто-нибудь напишет, что сторону квадрата достаточно было найти делением периметра на четыре. Но я-то здесь говорю о производной.
Ну и последняя задачка.
Пример №3
Завод по производству резиновых изделий выпускает какое-то количество средств контрацепции в неделю, и известно, что полученная прибыль в итоге выражается формулой:
Вопрос: какое максимальное количество продукции нужно производить в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?
И снова обращаемся к производной.
Напишите в комментариях, пригодилось ли Вам в жизни знание производных?
Понять что такое производная мне помог канал на ютьюб «QWERTY».
«ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ»
Глава I. Применение производной в практической деятельности……………………….….3
ГЛАВА II. ПРОИЗВОДНАЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ……………………………..………………7
§1. Понятие производственной функции…………………………………………….7
§4. Постановка и решение основной задачи……………………………….………11
ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ НЕРАВЕНСТ………….……..…..14
§1. Несколько простых примеров……………………………………………….…..14
§2. От числовых неравенств – к функциональным…………………………..…….15
§3. Неравенства с несколькими переменными………………………………..……15
§4. Доказательство неравенств Гюйгенса……………………………. ……..…….17
Введение
В процессе изучения производной в школьном курсе математики рассматриваются некоторые её приложения в физике, а также ряд текстовых задач на нахождение наибольшего или наименьшего значений. Однако сфера производной применения этим не ограничивается. Например, существует масса реальных экономических задач, для решения которых необходимо использовать методы дифференциального исчисления.
Метод нахождения экстремальных значений функции имеет важнейшее, ключевое значение для решения большого класса задач из разных разделов курса физики, математики, экономики и других наук. Специфика этих задач включает получение на основе некоторых физических и математических закономерностей функциональной зависимости и нахождение экстремального значения. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.
Цель: исследовать применение производной в различных областях науки и техники.
Задачи: 1)рассмотреть применение производной в практической деятельности;2) подбор физических и экономических задачи на экстремум; 3) показать применение производной к выяснению истинности неравенств.
Методы исследования: анализ и решение, сравнение результатов с реальной действительностью.
Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными.
ГЛАВА I. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
§1. Геодезия
В «Геометрии 6-9» указан способ определения высоты предмета с помощью угломерных инструментов. При типографических съемках местности аналогичный приём используется для определения превышения одной точки земной поверхности над другой. Этот способ дает хороший результат, если рассматриваемые точки находятся на незначительном расстоянии. В противном случае начинает сказываться кривизна Земли и возникает существенная погрешность.
§2. Транспорт
В практике проектирования сети автомобильных дорог часто возникает необходимость устройства узла разветвления. Местоположение узла и взаимное расположение проходящих через него дорог определяется комплексом экономических и географических условий, но первый, предварительный этап решение этой задачи учитывает лишь затраты рабочего времени на перевозки, причём в качестве вспомогательной решается вначале следующая задача.
§3. Мелиорация
Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено, что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.
В мелиоративной практике часто сооружаются каналы или лотки с поперечным сечением в форме прямоугольника, треугольника, трапеции и сегмента круга. Поэтому представляет интерес расчет гидравлически наивыгоднейшого профиля для каналов такой формы.
Итак, проверяемое утверждение справедливо.
§2. От числовых неравенств – к функциональным
Иногда требуется решить задачу, которая связана с числовыми неравенствами и в условии которой о дифференцируемых функциях нет речи; и тем не менее в подобной ситуации нередко оказывается выгодным перейти к подобранной «функциональной» задаче, которая решается с помощью производной и из ее решения уже следует решение исходной задачи.
Решение. Все эти задачи сводятся к такой вспомогательной функциональной задаче.
§3. Неравенства с несколькими переменными
Пример 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных a, b, c неравенство (3).
Для выяснения истинности неравенства иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:
§4. Доказательство неравенств Гюйгенса
Заключение
Математика служит основой естественных и технических наук, без нее ныне не мыслима ни одна современная технология. Кроме того, математика активно внедряется в экономику. Приступая к данному исследованию, мы ставили перед собой задачу: применение производной на нахождение экстремальных значений функции в различных областях практической деятельности. Для этого:
были выбраны задачи из сборников задач по физике и подготовке к единому государственному экзамену, в которых требовалось найти наименьшее или наибольшее значение;
выполнено решение подобранных задач;
выполнена классификация задач по разделам физики, математики и экономики.
Применение производной довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако, мы попытались раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение. В данной работе показано решение таких задач.
Литература
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 классы, М., Просвещение, 2003.
Балк М.Б. Применение производной к выяснению истинности неравенств. – Журнал «Математика в школе», №6, 1975, с. 47-53.
Беденко Н.К., Вольдман М.С. Некоторые задачи с техническим содержанием по теме «Производная и ее применениеехническим содержанием поноических задач ости000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000». – Журнал «Математика в школе», №5, 1975, с. 49-52.
Бодрякова Н.О., Рыб К.А. Физические задачи на экстремум функции. – Журнал «Математика в школе», №3, 1993, с. 15-20.
Игнатьева Н.П., Симонов А.С.. Об одном приложении производной к решению экономических задач. – Журнал «Математика в школе», №9, 2001, с. 42-48.
Москалев А.Н., Никулова Г.А. Готовимся к единому государственному экзамену. Физика. М., Дрофа, 2007.
Петров В.А, Чертков В.С. Применение производной в практической деятельности. – Журнал «Математика в школе», №6, 1980, с. 30-32.
Рымкевич А.П. Физика. Задачник 10-11 классы. М., Дрофа, 2007.
Применение производной в различных областях науки
проект на тему
Скачать:
Предварительный просмотр:
Министерство образования Саратовской области
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области «Энгельсский политехникум»
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В РАЗНИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ НАУКИ
Выполнила: Вербицкая Елена Вячеславовна
преподаватель математики ГАПОУ СО
Роль математики в различных областях естествознания очень велика. Недаром говорят «Математика – царица наук, физика ее правая рука, химия – левая».
Предмет исследования – производная.
Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.
Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.
Ключевой и тематический вопросы данного реферата:
1. История возникновения производной.
2. Зачем изучать производные функций?
3. Где используются производные?
4. Применение производных в физике, химии, биологии и других науках.
Я решила написать работу на тему «Применение производной в различных областях науки», потому что считаю эту тему очень интересной, полезной и актуальной.
В своей работе я расскажу о применении дифференцирования в различных областях науки, таких как химия, физика, биология, география и т. д. Ведь все науки неразрывно связаны между собой, что очень хорошо видно на примере рассматриваемой мною темы.
Применение производной в различных областях науки
Действие нахождения производной называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу.
Ньютон ввел понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.
Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.
Российский математик 19 века Панфутий Львович Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».
С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:
При изучении любой темы у учеников возникает вопрос: «Зачем нам это надо?» Если ответ удовлетворит любопытство, то можно говорить о заинтересованности учеников. Ответ для темы «Производная» можно получить, зная, где используются производные функций.
Чтобы ответить на этот вопрос, можно перечислить некоторые дисциплины и их разделы, в которых применяются производные.
Производная в алгебре:
1. Касательная к графику функции
y = f (x о ) + f ′(x о ) (x – x о )
2. Поиск промежутков возрастания и убывания функции
3. Поиск точек экстремума функции
4. Поиск промежутков выпуклости и вогнутости функции
5. Поиск точек изгиба функции
Производная в физике:
1. Скорость как производная пути
2. Ускорение как производная скорости a =
А так же в физике производную применяют для вычисления:
Скорости материальной точки
Мгновенной скорости как физический смысл производной
– мгновенная скорость, м/с
– перемещение тела, м ( если Δt→0 )
Δt – стремящийся к нулю интервал времени, с
Мгновенное значение силы переменного тока
Мгновенное значение ЭДС электромагнитной индукции
Производная в химии:
И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.
Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. V (t) = p ‘(t)
Понятие на языке химии
Понятие на языке математики
в-ва в момент времени t0
Изменение количества в-ва
Средняя скорость химической реакции
Отношение приращёния функции к приращёнию аргумента
Производная в биологии:
Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.
Производная в географии:
Производная помогает рассчитать:
1. Некоторые значения в сейсмографии
2. Особенности электромагнитного поля земли
3. Радиоактивность ядерно- геоифзичексих показателей
4.Многие значения в экономической географии
5.Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.
Производная в электротехнике:
В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.
В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.
В электротехнике в основном используется работа переменного тока.
Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.
Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.
Производная в экономике:
Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление – аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.
Производная в экономике решает важные вопросы:
1. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?
2. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при увеличение цены на её продукцию?
Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.
Также с помощью экстремума функции (производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.
ВЫВОД: производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни
Как видно из вышеперечисленного применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что изучение темы: «Производная функции» будет иметь своё применение в других темах и предметах.
Мы убедились в важности изучения темы «Производная», ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.
В заключении я хочу вам прочитать стихотворение:
“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.
Так сказал американский математик Морис Клайн.
Список используемой литературы:
6. Рыбников К.А. История математики, «Издательство Московского университета», М, 1960.
7. Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В. – М.: Издательский центр «Академия», 2010
8. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. – М.: Издательский центр «Академия», 2016
Газеты и журналы: «Математика», «Открытый урок»
Использование ресурсов сети Интернет, электронных библиотек: